Matematik Dibalik Catur

Matematik Dibalik Catur

Nuraidawati – 152151199

nuraidawati96@gmail.com

c

atur adalah permainan pikiran yang dimainkan oleh dua orang. Pecatur adalah orang yang memainkan catur, baik dalam pertandingan satu lawan satu maupun satu melawan banyak orang (dalam keadaan informal).

Terdapat dua warna yang membedakan bidak atau biji catur yaitu hitam dan putih. Pemegang buah putih memulai langkah pertama, yang selanjutnya diikuti oleh pemegang buah hitam secara bergantian sampai permainan selesai. Setiap langkah hanya boleh menggerakkan satu bidak saja (kecuali untuk rokade di mana ada dua bidak yang digerakkan). Bidak dipindahkan ke petak kosong, ataupun yang ditempati oleh bidak lawan, yang berarti menangkapnya dan memindahkan bidak lawan dari permainan. Ada pengecualian, yaitu untuk gerakan en passant. Dimana pada gerakan awal, pion dapat bergerak maju dua petak.

Masalah negara asal catur, masih ada silang pendapat. Menurut Dede Gunawan, seorang atlit catur pada tahun 80-an yang sekarang menjabat sebagai salah satu pelatih catur di PERCASI kota Tasikmalaya, catur berasal dari Negara Yunani, ini di buktikan dengan adanya sebuah motto “Gens Unesunus” yang artinya sekeluarga. Sedangkan menurut H. J. R. Murray, penulis buku History of Chess (1913), catur berasal dari India dan mulai pada abad ke-6. Di sana catur dikenal dengan nama chaturangga, yang artinya empat unsur yang terpisah. Menurut mistisisme India kuno, catur dianggap mewakili alam semesta ini, sehingga sering dihubungkan dengan empat unsur kehidupan, yaitu api, udara, tanah dan air karena dalam permainannya, catur menyimbolkan cara-cara hidup manusia.

Menurut  Wikipedia, istilah catur berasal dari bahasa sansekerta yang memiliki arti empat. Namun kata ini sebenarnya merupakan singkatan dari caturangga yang berarti empat sudut. Digunakanya catur  sebagai nama permainan ini di Indonesia, kalau boleh dianalogikan, karena sisi dari papan catur itu berjumlah empat  atau persegi empat. Atau barangkali, melihat jumlah prajurit  tiap pemain (putih/hitam) ada enam belas, yang apabila dibagi empat maka jumlahnya adalah empat. Namun bisa juga karena, bahwa raja  di papan catur itu ibarat manusia yang dijadikan oleh Tuhan sebagai khalifatulardi, yang berarti manusia harus memiliki empat karakerisik melalui peran tokoh yang strategis dalam permainan catur yaitu, pertama benteng  sebagai simbol pertahanan atau ikhtiat, kedua luncur  sebagai simbol penyerangan atau maqsudiyah dan riyadiyah, ketiga kuda sebagai simbol kendaraan atau alat dan keempat ster sebagai simbol strategi atau al’ilmu.

Terlepas dari alasan, “Mengapa permainan ini di Indonesia dinamakan catur ?” karena pada prinsipnya catur merupakan bagian dari olahraga. Kata olah raga itu sendiri merupakan gabungan dari dua kata yaitu, “olah” dan “raga”. “Olah “ dalam bahasa arab disebut riyadhah atau rutinitas gerak hingga mencapai titik optimal, dan “raga” dalam bahasa arab disebut badaniah atau segala sesuatu yang ada pada manusia selain ruh. Sehingga olahraga merupakan suatu rutinitas raga untuk mencapai titik optimal.

Mengingat dalam catur itu yang lebih banyak bergerak adalah otak, tentunya otak itulah yang lebih ditekankan sebagai usaha mencapai titik optimal. Maka catur merupakan jenis olahraga yang mampu mempengaruhi pada perkembangan intelektual.

Pada sisi yang lain, bagi seseorang yang memiliki intelektual, banyak yang bilang permainan catur itu mudah, tapi banyak hal-hal yang harus diperhatikan dalam permainan catur. Dalam permainannya, catur mengandalkan analisa dan ketajaman otak pemain, disertai keterampilan strategi dalam menentukan langkah, rencana, risiko, dan menentukan kapan harus berkorban agar menang, adu strategi pun digunakan, untuk lebih mudah mempelajari dan merekam partai-partai catur, digunakanlah notasi aljabar, yaitu sistem yang menamai setiap petak pada papan catur atau disebut juga kordinat kartesius, tetapi sebelum itu mari kita bahas tentang bermain catur, banyak pemikiran yang harus fokus dalam permainan catur sesungguhnya, ada jam catur, menulis langkah yaitu bisa dengan bidang kartesius x dan y, peraturan juga berpengaruh dalam permainan catur.

Di dalam permainan catur, ada yang memegang buah putih dan buah hitam, ada kelebihan dan kekurangan ketika seseorang memegang salah satu dari buah tersebut, buah catur yang putih keuntungannya bisa memulai pertama dan mudah untuk menghitung titik bidang kartesius yang akan melangkahkan buah caturnya, kekurangannya itu jam caturnya berada di sebelah kiri, jadi kalau sudah main, agak sulit menekan jam di sebelah kiri, soalnya jika menekan menggunakan tangan kiri, lawan bisa protes, karena harus memakai tangan kanan, dan hukumannya kalau melanggar, bisa dikurangi waktunya atau dapat sanksi lainnya.

Dan jika memegang buah catur yang warna hitam keuntungannya kebalikan dengan yang putih, jam caturnya di sebelah kanan, jadi kalau misalkan lagi bermain, orang yang memegang buah hitam sedikit lebih unggul dalam penekanan jam, terus kekurangannya agak pusing, soalnya perhitungannya harus sama dengan putih.

Yang jadi pertanyaannya bagaimana sih caranya menghitung petak-petak yang ada didalam catur ? Mari kita simak penjelasannya, dalam catur ada yang memegang buah putih dan buah hitam, nah hitungannya itu di mulai dari sebelah kiri bawah pemain putih ke sebelah kanan diberi nama A,B,C,..., H itu kolom-kolom dan sementara kalau untuk baris dari kanan maupun kiri bawah pemain putih mulai diberi angka 1,2,3...,8.

Setiap petak dipapan catur sekarang mempunyai nama sendiri, dimulai dengan kolom terlebih dahulu barulah angka baris, sebagai contohnya yang biasa dipakai yaitu kolom e dan baris ke 4, jadi dapat kita tulis e4 (2 langkah pion yang berada didepan raja putih), dan jika yang melangkahnya selain bidak, bisa menggunakan hurup depannya saja, Raja=R, Mentri=M, Benteng=B, Gajah=G, Kuda=K, contohnya Kuda kolom c baris ke 3, jadi bisa ditulis Kc3, dan kalau misalkan dalam memakan biji catur lawan, menggunakan tanda x, contohnya Kxe5 artinya Kuda memakan biji yang ada di kolom e baris ke 5.

Permainan dilangsungkan di atas papan yang terdiri dari 8 lajur dan 8 baris kotak/petak berwarna hitam dan putih (atau terang dan gelap) secara berselang seling. Permainan dimulai dengan 16 buah pada masing-masing pihak, yang disusun berbaris secara khusus pada masing-masing sisi papan catur secara berhadap-hadapan. Satu buah hanya bisa menempati satu petak. Pada bagian terdepan masing-masing barisan terdapat 8 pion, diikuti di belakangnya dua benteng, dua kuda (dalam bahasa Inggris disebut knight-ksatria), dua gajah (dalam bahasa Inggris disebut bioshop-uskup), satu menteri atau ratu atau ster, serta satu Raja.

Buah catur memiliki nilai-nilai tersendiri sebagai perbandingan kekuatan, nilai-nilai ini tidak mudah mutlak, soalnya posisi buah tersebut sangat berpengaruh, nilai-nilai buah catur diantaranya :

Pion                     : 1 poin

Kuda dan Gajah : 3 poin

Benteng              : 5 poin

Mentri                 : 9 poin

Inilah gambaran pertama catur:

Gambar 1. gambaran pertama catur

Biasanya dalam catur, angka maupun huruf yang ada di gambar itu tidak ada, jadi kita harus menalar atau pun menghitung titik petak yang akan di jalankan pemain tersebut.

Sebelumunya di atas sudah dijelaskan bahwa papan catur disebut juga koordinat kartesius, nah ini adalah salah satu hubungan antara matematika dan catur. Dalam matematika, Sistem koordinat  kartesius digunakan untuk menentukan tiap-tiap dalam bidang menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis), dan koordinat y (ordinat) dari titik tersebut.

Untuk mendefinisikan koordinat diperlukan dua garis berarah yang tegak lurus satu sama lain (sumbu x dan sumbu y), dan panjang unit, yang dibuat tanda-tanda pada kedua sumbu tersebut (lihat Gambar 2).

Gambar 2. Koordinat kartesius

Istilah kartesius digunakan untuk mengenang ahli matematika sekaligus filsuf dari Perancis Descartes, yang perannya besar dalam menggabungkan aljabar dan geometri (kartesius adalah latinisasi untuk Descartes). Hasil kerjanya sangat berpengaruh dalam perkembangan Geometri Analitik, Kalkulus dan Kartografi.

Gambar 3. Rene Decartes

Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637  dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk menggambarkan posisi titik atau objek pada sebuah permukaan, dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Kartesius dapat digunakan dalam permainan catur, dalam menentukan kotak-kotak yang ada dalam catur disitulah peran kartesius dipergunakan, banyak hal-hal yang harus diperhatikan untuk menghitung kotak-kotak yang ada pada catur, cara menghitungnya, cara membacanya, dan cara yang lainnya.

Telah dijelaskan latar belakang  sejarah catur serta hubungan permainan catur dengan matematika diatas, sekarang saya akan menginformasikan lagi nih teman, salah satu penerapan permainan catur pada matematika yaitu Knight's Tour, penasarankan apa itu knight’s tour ? Knight’s Tour atau dalam bahasa Indonesia nya disebut Perjalanan Kuda merupakan sebuah permainan hasil variasi dari permainan catur atau bisa juga diartikan sebagai  sebuah masalah dalam matematika yang melibatkan kuda (knight).

Pada permainan ini, pemain hanya menggunakan bidak kuda. Bidak kuda ini akan digerakkan melewati seluruh kotak pada papan catur tanpa melewati kotak yang sama sebagai tujuan dari knight’s tour itu sendiri.

Pada permainan ini bidak kuda dapat diletakkan dimana saja untuk memulai permainan. Langkah bidak kuda yang unik yaitu membentuk huruf L membuat permainan ini menjadi permainan asah otak yang cukup baik. 

Gambar 4. Langkah Pada Bidak Kuda

Terdapat dua jenis permaian knight’s tour, yaitu open knight’s tour dan closed knight’s tour. Pada open knight’s tour, bidak akan berhenti pada satu kotak setelah semua kotak dilewati.

Gambar 5. open knight’s tour

 Sedangkan pada closed knight’s tour, bidak kuda akan kembali pada titik awal permainan setelah semua kotak terlewati, ini seperti knight’s tour yang dilakukan oleh Joe Sandy vs Deddy Corbuzer pada tahun 2009  dimulai dari petak D7 dan kembali ke D7.

Gambar 6. closed knight’s tour

Artinya pada knight’s tour ini, ke-64 bidak pada papan catur yang berukuran 8x8 akan terpenuhi yang apabila kita hitung langkahnya ada 63 langkah.

Permainan ini tidak hanya dapat digunakan pada papan berukuran 8x8, namun juga dapat dilakukan pada papan berukuran 6x6, dan 5x5. Untuk papan persegi panjang, ukuran minimal adalah 3x4.

Jika dilihat dari pergerakkannya, permainan knight’s tour ini menggunakan teori graf. Graf  adalah himpunan simpul yang dihubungkan dengan sisi-sisi  hamilton. Graf yang kita gunakan disini adalah graf  Hamilton. Graf  Hamilton adalah graf hanya melewati setiap simpul tepat satu kali. Pada knight’s tour bidak kuda tidak boleh melewati kotak yang sama lebih dari satu kali.

Untuk menyelesaikan knight’s tour ini, diperoleh banyak cara untuk menyelesaikannya. Apabila kita menggunakan konsep matematika secara umum, yaitu antara lain, pertama  menggunakan konsep faktorial, maka kemungkinan yang terjadi adalah 64! = 1.27 x 10⁸⁹,  sehingga membutuhkan waktu bertahun-tahun untuk menyelesaikannya. Kedua menggunakan konsep eksponensial, kemungkinan yang terjadi pun tidaklah sedikit, yaitu sekitar 64 x 4⁶³, lebih sedikit jika dibandingkan dengan konsep faktorial, tetapi tetap mustahil juga untuk kita cari. Dan dengan konsep simetri, maka kemungkinannya paling sedikit adalah 8.5 x 10³⁸.  Tetapi ini kelihatan mustahil bagi kita untuk menyelesaikan ketiga konsep diatas. Langkah-langkah yang dibutuhkan sangatlah panjang serta membutuhkan sebuah alat seperti komputer, salah satunya dengan menggunakan menggunakan metode algoritma backtracking.

Algoritma backtracking bisa kita gunakan untuk mencari solusi dari kasus permainan. Kita akan membangun solusi parsial dari sebuah masalah lalu akan mencoba mengembangkan solusi tersebut. Jika solusi yang telah diperluas gagal, maka ia akan kembali (dengan runut balik) dan akan mencoba solusi parsial knight’s tour lainnya, yaitu dengan cara sebagai berikut :

1.    Dari awal kotak kuda ditempatkan dan membangkitkan langkah-langkah yang mungkin dilalui oleh kuda.

2.    Memilih salah satu langjah (kotak) yang kemudian diperluas langkah tersebut.

3.    Menempatkan kuda pada kotak yang telah dipilih.

4.    Mengulangi langkah satu untuk kotak yang sedang ditempati.

5.    Kembali ke langkah sebelumnya, jika belum ditemukan solusi (backtracking). Pencarian akan berhenti jika tealah ditemukan solusi atau tidak ada langkah yang memungkinkan.

Selain itu, karena catur adalah jenis permainan yang menggunakan logika maka, catur mengajarkan banyak hal, termasuk pemikiran strategis. Meskipun pada awalnya mungkin orang menganggap bahwa jenis pemikiran ini tidak berhubungan dengan matematika, pada kenyataannya, catur juga mengajarkan jenis "perhitungan" (ide yang tepat tentang hal ini dapat Anda baca pada buku A. Soltis: The Inner Game of Chess, David McKay Co. Inc, New York, 1994).

Pada tahun 1893, Profesor Binet (dari tes reputasi IQ Stanford-Binet) telah melakukan studi tentang hubungan antara matematika dan catur. Setelah memeriksa sejumlah besar pemain terkemuka, ia menemukan bahwa 90% dari mereka memiliki mental berhitung yang sangat baik. Di sisi lain, ia menemukan bahwa matematikawan pun sering tertarik pada catur, beberapa di antaranya menjadi pemain kelas atas. Profesor Binet berkomentar bahwa baik catur maupun matematika memiliki arah dan rasa yang sama dalam kombinasi, abstraksi dan presisi. Salah satu ciri yang hilang pada matematika adalah pertempuran, di mana dua individu bersaing untuk penguasaan, dengan semua kualitas yang dibutuhkan dari seorang jenderal di medan perang.

Beberapa Matematikawan yang ahli di bidang catur adalah sebagai  berikut :

1.    Adolf Anderssen (1818-1879)

Belum pernah memenangi Kejuaraan Dunia tetapi dianggap sebagai pemain terkuat di dunia antara tahun 1859 dan 1866. Dia menerima gelar dalam bidang Matematika dari Universitas Breslau dan mengajar matematika di gimnasium Friedrichs pada tahun 1847-1879. Dia dipromosikan menjadi Profesor pada tahun 1865 dan diberi gelar doktor kehormatan oleh Breslau (untuk prestasinya dalam catur) pada tahun 1865.

2.    Noam Elkies

Profesor Matematika di Universitas Harvard dengan spesialisasi pada Teori Bilangan, adalah penyusun studi dan (mantan juara dunia) pemecah problem catur. Prof. Elkies, pada usia 26, menjadi sarjana termuda yang pernah mencapai gelar guru besar (profesor) di Harvard. Salah satu studi Endgame hasil karyanya disebutkan, misalnya, dalam buku “Technique for the tournament player” oleh GM Yusupov dan IM Dvoretsky, Henry Holt, 1995. Dia menulis 11 kolom yang sangat menarik tentang Eksplorasi Endgame.

3.    Machgielis (Max) Euwe (1901-    1981)

Juara Dunia Catur 1935-1937, Presiden FIDE (Federation Internationale des Echecs) 1970-1978, dan wasit (arbiter) dalam pertarungan yang bergolak Fischer Spassky pada pertandingan Kejuaraan Dunia di Reykjavik, Islandia pada tahun 1972. Salah satu sumber menyebutkan, ia bergelar PhD (atau yang setara dengan itu dalam versi Belanda) dalam bidang Matematika dari Universitas Amsterdam pada tahun 1926. Yang lainnya menyebutkan, ia bergelar Doktor dalam bidang filsafat pada tahun 1923 dan mengajar sebagai kariernya. Ia juga menerbitkan sebuah makalah matematika catur "Schachspiel Betrachtungen das uber Mengentheoretische".

4.    Ed Formanek

Master Internasional, bergelar Ph.D dari Universitas Rice pada tahun 1970. Bekerja pada fakultas Matematika di Universitas Negeri Penn terutama dalam Teori Matriks dan Teori Representasi.

5.    Charles Kalme (15 November 1939-22 Maret 2002)

Meraih gelar master nasional dalam catur pada usia 15 tahun, ia adalah juara junior Amerika pada tahun 1954, 1955, juara antarperguruan tinggi se-Amerika pada tahun 1957, dan draw dalam permainan melawan Bobby Fischer pada kejuaraan Amerika tahun 1960. Pada tahun 1960, ia juga terpilih untuk Tim Inti Soccer Pria, serta tim Olimpiade Catur Mahasiswa Amerika. Pada tahun 1961 ia lulus dengan peringkat pertama di kelasnya pada Sekolah Teknik Elektro Moore, Universitas Pennsylvania, Philadelphia. Dia juga menerima penghargaan Cane (penghargaan kepemimpinan) tahun itu. Setelah mendapatkan gelar PhD dari Universitas New York pada tahun 1967 ia memasuki Universitas California, Berkeley selama 2 tahun kemudian Universitas California Selatan selama 4-5 tahun. Dia menerbitkan 2 makalah tentang Matematika dalam periode ini, "A note on the connectivity of components of Kleinian groups" dan "Remarks on a paper by Lipman Bers". Dia juga menerjemahkan karya Siegel dan Moser, Lectures on celestial mechanics, Springer-Verlag, New York, 1971 dari aslinya yang berbahasa Jerman. Dia berperan penting pada tahap awal pemrograman komputer catur. Bahkan, gambar dan ulasan game ditampilkan dalam artikel "An advice-taking chess computer" yang muncul dalam Scientific American edisi Juni 1973. Dia adalah editor pada Math Reviews dari 1975-1977 dan kemudian bekerja di industri komputer. Belakangan semasa hidupnya ia bekerja di negara asalnya, Latvia, dan mengirimkan komputer ke sekolah-sekolah dasar di sana dalam program “A National Strategy for Bringing Computer Literacy to Latvian Schools”. Rating tertinggi yang dicapainya kemudian selama "kembali ke catur" adalah 2458.

6.      Emanuel Lasker (1868-1941) 

Juara Dunia Catur tahun 1894-1921, bergelar PhD (atau yang setara dalam versi Jerman) dalam bidang Matematika dari Universitas Erlangen pada tahun 1902. Penulis makalah yang berpengaruh, di mana teorema terkenal Lasker-Noether “Primary Ideal Decomposition Theorem in Commutative Algebra” terbukti.

7.    A. Jonathan Mestel 

Grandmaster di “di atas papan” maupun dalam pemecahan dalam problem catur, adalah seorang matematikawan terapan dengan spesialisasi dalam mekanika fluida dan penulis banyak makalah penelitian. Dia bekerja di fakultas Matematika, Imperial College, London.

8.    Walter D. Morris

Master Internasional, bekerja di fakultas matematika, universitas George Marson, Virginia.

9.    Nick J. Patterson

Master Internasional, bergelar D. Phil. dari Universitas Cambridge pada tahun 1970-an dalam Teori Grup, dibimbing Prof. Thompson. Dia menerbitkan beberapa makalah tentang teori grup, kombinatorik, dan teori error-correcting codes. Beberapa game caturnya dapat Anda lihat di sini . Dia adalah Juara Catur Irlandia pada tahun 1969.

10.    John Nunn

Grandmaster, bergelar D. Phil. dari Universitas Oxford pada tahun 1978 pada usia 23 tahun (sarjana termuda di Oxford sejak Kardinal Wolsey), Tesis PhD-nya tentang Topologi Aljabar, dan penulis makalah.

11.  Hans-Peter Rehm

Penyusun problem catur, Profesor Matematika di Universitas Karlsruhe, Jerman. Ia telah menulis beberapa makalah dalam matematika, seperti "Prime factorization of integral Cayley octaves" (1993), tetapi kebanyakan dalam aljabar diferensial, spesialisasinya. Beberapa problem caturnya dapat ditemukan di internet, misalnya di sini (dalam bahasa Jerman). Sebuah koleksi problem caturnya telah diterbitkan, yaitu Hans + Peter + Rehm = Schach Ausgewählte Schachkompositionen & Aufsätze (artinya, problem catur dan artikel pilihan), Aachen 1994.

Jadi kesimpulannya dalam catur bisa meningkatkan kemampuan berkosentrasi serta mengembangkan akal untuk membuat analisa dan sintesa secara strategis dan taktik juga bisa membantu dalam segala hal, tidak hanya memainkan catur itu saja, sistem kartesius pun digunakan untuk menghitung kotak yang akan dilangkahinya, dan lebih menariknya dengan menggunakan salah satu bidaknya yaitu kuda dapat menbuat permasalahan yang cukup menarik untuk diselesaikan yaitu knight’s tour . dan dari knight’s tour ini dapat diaplikasikan ke dalam bentuk matematika yaitu teori graf bahkan pemograman komputer dengan algoritma backtracking serta tidak menutup kemungkinan orang yang juara catur dunia ahli dalam matematika.

DAFTAR PUSTAKA
Anonim (2015). Rene Descartes.  [Online]. Tersedia: https://id.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

Darmanto, Heri. 2009. Rahasia Problem Kuda Catur. [Online]. Tersedia : http://www.komputercatur.com/2009/05/rahasia-problem-kuda-catur-seperti.html

Febrian, Rama. 2012. Matdis. [Online]. Tersedia : http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/Matdis/2012-2013/Makalah2012/Makalah-IF2091-2012-067.pdf rama febrian 2012
Hendry. 2009. Rahasia Perjalanan Kuda  Joe Sandi. [Online]. Tersedia : http://hendrydext.blogspot.co.id/2009/05/rahasia-joe-sandy-ii-perjalanan-kuda.html

Pujakelana.TT. Matematika dan Catur. [Online]. Tersedia : https://www.chess.com/blog/Pujakelana/matematika-dan-catur

Thorne, John. (2014). Sistem Koordinat Kartesius. [Online] Tersedia: https://id.wikipedia.org/wiki/Sistem_koordinat_Kartesius